Категории

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Маркетинг, товароведение, реклама

Страховое право

Налоговое право

Охрана природы, Экология, Природопользование

Компьютеры и периферийные устройства

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

Литература, Лингвистика

Банковское дело и кредитование

Бухгалтерский учет

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

Политология, Политистория

Радиоэлектроника

Муниципальное право России

Технология

Психология, Общение, Человек

Международное право

Биржевое дело

Медицина

Музыка

Биология

Химия

Социология

Компьютерные сети

Космонавтика

Техника

Физика

Историческая личность

Программирование, Базы данных

Религия

Криминалистика и криминология

История государства и права зарубежных стран

Сельское хозяйство

Культурология

Педагогика

Транспорт

Математика

Компьютеры, Программирование

География, Экономическая география

Философия

Материаловедение

Право

Ценные бумаги

Астрономия

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Трудовое право

Искусство

Пищевые продукты

Охрана правопорядка

Менеджмент (Теория управления и организации)

Ветеринария

Гражданское право

Адвокатура

Гражданское процессуальное право

Нероссийское законодательство

Римское право

Российское предпринимательское право

Семейное право

Уголовный процесс

Таможенное право

Теория государства и права

Уголовное и уголовно-исполнительное право

Финансовое право

Хозяйственное право

Экологическое право

Гражданская оборона

Иностранные языки

Металлургия

Векторная алгебра

Векторная алгебра

Операция сложения векторов обладает свойствами: a+b=b+a (коммутативность) (а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность) a + 0=a (наличие нулевого элемента ) a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента), где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а.

Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a. Произведением lx вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют вектор, модуль которого равен |l||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную, если l l*(a+b)= l*a+l*b (дистрибутивность относительно сложения векторов) (l+u)*a=l*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел) l*(u*a)=(l*u)*a (ассоциативность) 1*a=a (умножение на единицу) Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство). В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов.

Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство: aa+bb+…gc=0. (1) Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы.

Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e 1 ,e 2 ,e 3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы: a=a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3 . Числа a 1 ,a 2 ,a 3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a 1 ,a 2 ,a 3 }. Два вектора a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } ,b¹0, является пропорциональность их соответствующих координат: a 1 =lb 1 ,a 2 =lb 2 ,a 3 =lb 3 . Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a 1 ,a 2 ,a 3 }, b={b 1 ,b 2 ,b 3 } и c={c 1 ,c 2 ,c 3 } является равенство : | a 1 a 2 a 3 | | b 1 b 2 b 3 | = 0 | c 1 c 2 c 3 | Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами.

Координаты суммы векторов a={a 1 ,a 2 ,a 3 }и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } равны суммам соответствующих координат: a+b={a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 ,a 3 +b 3 }. Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l : lа= {lа 1 ,la 2 , la 3 }. Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними: (а, b) = | а |*| b | cosj. За j принимается угол между векторами, не превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю.

Скалярное произведение обладает свойствами: (a, b)= (b, а) (коммутативность), (a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов), l(a,b)=( la,b) =(a,l6) (сочетательность относительно умножения на число), (a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b. Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов : a={a 1 ,a 2 ,a 3 }и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле: (a,b)=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a 1 ,a 2 ,a 3 }и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } может быть вычислен по формуле: где и Косинусы углов вектора a={a 1 ,a 2 ,a 3 } с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а: , , Направляющие косинусы обладают следующим свойством: cos 2 a+cos 2 b+cos 2 g=1 Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой.

Проекцией Пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е.

Проекции обладают свойствами: Пр. е (a+b)= Пр. е a+ Пр. е b (аддитивность), Пр. е a = Пр. е la (однородность). Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса. В пространстве различают правые и левые тройки векторов.

Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка.

Лучшие работы

Подобные работы

Векторная алгебра

echo "Операция сложения векторов обладает свойствами: "; echo ''; echo " a+b=b+a (коммутативность) (а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность) a + 0=a (наличие нулевого элемента ) a+(-a)=0 (наличие противополож

Некоторые Теоремы Штурма

echo "Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач уравнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкн