Векторная алгебра

Операция сложения векторов обладает свойствами: a+b=b+a (коммутативность) (а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность) a + 0=a (наличие нулевого элемента ) a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента), где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а.

Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a. Произведением lx вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют вектор, модуль которого равен |l||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную, если l l*(a+b)= l*a+l*b (дистрибутивность относительно сложения векторов) (l+u)*a=l*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел) l*(u*a)=(l*u)*a (ассоциативность) 1*a=a (умножение на единицу) Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство). В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов.

Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство: aa+bb+…gc=0. (1) Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы.

Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e 1 ,e 2 ,e 3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы: a=a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3 . Числа a 1 ,a 2 ,a 3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a 1 ,a 2 ,a 3 }. Два вектора a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a 1 ,a 2 ,a 3 } и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } ,b¹0, является пропорциональность их соответствующих координат: a 1 =lb 1 ,a 2 =lb 2 ,a 3 =lb 3 . Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a 1 ,a 2 ,a 3 }, b={b 1 ,b 2 ,b 3 } и c={c 1 ,c 2 ,c 3 } является равенство : | a 1 a 2 a 3 | | b 1 b 2 b 3 | = 0 | c 1 c 2 c 3 | Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами.

Координаты суммы векторов a={a 1 ,a 2 ,a 3 }и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } равны суммам соответствующих координат: a+b={a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 ,a 3 +b 3 }. Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l : lа= {lа 1 ,la 2 , la 3 }. Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними: (а, b) = | а |*| b | cosj. За j принимается угол между векторами, не превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю.

Скалярное произведение обладает свойствами: (a, b)= (b, а) (коммутативность), (a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов), l(a,b)=( la,b) =(a,l6) (сочетательность относительно умножения на число), (a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b. Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов : a={a 1 ,a 2 ,a 3 }и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле: (a,b)=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a 1 ,a 2 ,a 3 }и b={b 1 ,b 2 ,b 3 } может быть вычислен по формуле: где и Косинусы углов вектора a={a 1 ,a 2 ,a 3 } с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а: , , Направляющие косинусы обладают следующим свойством: cos 2 a+cos 2 b+cos 2 g=1 Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой.

Проекцией Пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е.

Проекции обладают свойствами: Пр. е (a+b)= Пр. е a+ Пр. е b (аддитивность), Пр. е a = Пр. е la (однородность). Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса. В пространстве различают правые и левые тройки векторов.

Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка.